Question

已知函数 f（x）的定义域为R，且对任意 x∈Z，都有 f（x）=f（x-1）+f（x+1）．若f（-1）=6，f（1）=7，则 f（2012）+f（-2012）=    ．

Answer

由题设条件知，理解对任意正整数x，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1）很关键，本题已知自变量±1与±2012差值太大，两函数值之间的关系一般要借助函数的周期性找到关联，考查恒等式，可构造出f（x+1）=f（x）+f（x+2），与f（x）=f（x-1）+f（x+1）联立解出函数的周期，再求函数值
【解析】
【解析】
因为f（x）=f（x-1）+f（x+1）
所以f（x+1）=f（x）+f（x+2）
两式相加得0=f（x-1）+f（x+2）
即：f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=f（x）
f（x）是以6为周期的周期函数
2012=6×335+2，-2012=-6×335-2
∴f（2012）=f（2）=-f（-1）=-6
f（-2012）=f（-2）=-f（1）=-7
∴f（2012）+f（-2012）=-13
故答案为-13