Question

定义域[-1，1]的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，．   
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer

（1）先利用奇函数的定义，求f（x）在（-1，0）上的解析式，再利用抽象表达式f（x）=f（x-2），求f（1）和f（-1）的值，即可得f（x）在定义域上的解析式；
（2）先利用导数证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，再利用对称性证明函数在（-1，1）上的单调性，最后利用单调性和对称性求函数的值域即可
【解析】
（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），则f（-x）=-2x+
∵f（x）为[-1，1]的奇函数，∴f（-x）=-f（x）'
∴f（x）=2x-
又∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）
∴f（-1）=0，f（1）=0
∴f（x）=
（2）∵x∈（0，1）时，．  
∴f′（x）=2+＞0
∴f（x）在（0，1）上为增函数，f（x）∈（0，3）
∵f（x）为[-1，1]的奇函数，
∴f（x）在（-1，1）上为增函数
∴当x∈（-1，1）时，f（x）∈（-3，3），f（±1）=0
∴函数f（x）的值域为（-3，3）