Question

已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三个连续的自然数．如果a，b，c能够作为一个三角形的三边长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A．

Answer

先设出三边长以及三个角的度数，结合正弦定理以及余弦定理求出关于边长的等式，即可求出结论．
（本题满分12分）
【解析】
依题意，不妨设a=n-1，b=n，c=n+1，对应的三个内角是α，π-3α，2α
由正弦定理，…（4分）
所以…（6分）
由余弦定理，（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）ncosα…（8分）
即化简，得：n2-5n=0
所以，n=0，或n=5，n=0不合题意，舍去．
n=5，三角形的三边长为4，5，6．…（10分）
可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍． …（11分）
故：A={4，5，6}                           …（12分）