Question

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）上单调递增，若对任意x，y∈（0，+∞）都有：f（xy）=f（x）+f（y）成立，数列{a_n}满足：a₁=f（1）+1，f（）+f（+）=0．设S_n=+++…++．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并求S_n关于n的表达式；
（2）设函数g（x）对任意x、y都有：g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，若g（1）=1，正项数列{b_n}满足：=g（），T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较4S_n与T_n的大小．

Answer

（1）当x，y∈（0，+∞）时，有f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，所以a1=f（1）+1=1．因为f（）+f（+）=0，所以f（-）=0=f（1）．由此能够求出数列{an}的通项公式，和Sn关于n的表达式．
（2）由于任意x，y∈R，都有g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，则g（2x）=2g（x）+2x2，故g（）=，即=．
由bn＞0，知bn=，Tn=++…+=1-，又4Sn=1-．由此能够得到当n=1，2，3，4时，4Sn＞Tn；当n≥5时，4Sn＜Tn．
【解析】
（1）当x，y∈（0，+∞）时，有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，
所以a1=f（1）+1=1（1分）
因为f（）+f（+）=0，
所以f（-）=0=f（1）．
又因为y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
所以-=1，
即，（3分）
所以数列{}是以1为首项，4为公差的等差数列，
所以=4n-3，所以an=．
∵==[-]，
∴Sn=[-+-+…+-]=[1-]．（5分）
（2）由于任意x，y∈R都有g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，
则g（2x）=2g（x）+2x2，
∴g（1）=2g（）+2•（）2
=2[2g（）+2•（）2]+
=22g（）++
=22[2g（）+2•（）2]++=23g（）+++
=…=2ng（）++++…++=1，
∴g（）=，即=．
又bn＞0，∴bn=，（9分）
∴Tn=++…+==1-，又4Sn=1-．
当n=1，2，3，4时，4n+1＞2n，
∴4Sn＞Tn；（10分）
当n≥5时，2n=＞1+2n+2×=1+n2+n．
而n2+n+1-（4n+1）=n2-3n=n（n-3）＞0，故4Sn＜Tn．（13分）