Question

已知a＞1，命题p：a（x-2）+1＞0，命题q：（x-1）²＞a（x-2）+1＞0．若命题p、q同时成立，求x的取值范围．

Answer

命题p、q同时成立，说明不等式组解集为非空集合，化简整理得．接下来分三种情况加以讨论：①当1＜a＜2时，有，结合a＞2-，可得此时x的取值范围为（2-，a）∪（2，+∞）；②当a=2时，易得此时x的取值范围为（，2）∪（2，+∞）；③当a＞2时，对照①的分析，可得此时x的取值范围为（2-，2）∪（a，+∞）．
【解析】
依题意，命题p、q同时成立，说明不等式组解集为非空集合，
即解集非空，结合已知条件a＞1，解得（4分）
①当1＜a＜2时，则有，
而a-（2-）=a+-2＞0，即a＞2-，
∴不等式组的解为：x＞2或2-＜x＜a．
因此，此时x的取值范围为（2-，a）∪（2，+∞）．（6分）
②当a=2时，则x＞且x≠2，此时x的取值范围为（，2）∪（2，+∞）．（8分）
③当a＞2时，则有⇒x＞a或2-＜x＜2．（10分）
因此，此时x的取值范围为（2-，2）∪（a，+∞）．（12分）