Question

已知函数．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；
（Ⅲ）若任意的x₁，x₂∈（1，2）且x₁≠x₂，证明：．（注：ln2≈0.693）

Answer

（Ⅰ） 先求导函数，根据，可得，从而可得在区间和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在区间上f′（x）＜0，由此可得f（x）的单调递增区间与单调递减区间；
（Ⅱ）确定f（x）在x∈[1，2]的最大值，即可判断不存在符合条件的a，使得f（x）=0；
（Ⅲ）证明一：当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
只需证明，都成立，即可得证命题成立；      
证明二：当时，，x∈（1，2）f′（x）在上单调递减，在上单调递增，确定，，利用导数的几何意义即可证得结论．
【解析】
（x＞0）．
（Ⅰ） （x＞0）．（2分）
∵，∴，
∴在区间和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在区间上f′（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．（4分）
（Ⅱ）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．
由（Ⅰ）可知，当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．（6分）
由可知，所以2lna＞-2，所以-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，所以f（x）max＜0，
故不存在符合条件的a，使得f（x）=0．（8分）
（Ⅲ）证明一：当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
只需证明，都成立，即可得证命题成立．（10分）        
 ，设，，
∴g（a）在上是减函数，
，设，
∴h（a）在上是增函数，
综上述命题成立．（12分）    
证明二：当时，，x∈（1，2）f′（x）在上单调递减，在上单调递增，f′（1）=1-a＞0，f′（2）=0，，
∵，
∴，．（10分）
由导数的几何意义，有对任意x1，x2∈（1，2），x1≠x2．（12分）