Question

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有 2S_n=2．函数f（x）=x²+x，数列{b_n}的首项b₁=．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令求证：{c_n}是等比数列并求{c_n}通项公式；
（Ⅲ）令d_n=a_n•c_n，（n为正整数），求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）利用 2Sn=2．推出an+1，an的关系式，说明数列是等差数列，然后求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用，以及，推出{cn}是等比数列，即可求{cn}通项公式；
（Ⅲ）通过dn=an•cn，（n为正整数），求出dn的表达式，利用错位相减法法直接求解前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）由 2Sn=      ①
得2Sn+1=         ②
由②-①，得  2an+1=，
即：（2分）
∴由于数列{an}各项均为正数，
∴
即  ∴数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，
∴数列{an}的通项公式是  =（4分）
（Ⅱ）由知，
所以，
有=，即cn+1=2Cn（6分）
而=，
故{cn}是以c1=1为首项，公比为2的等比数列．
所以cn=2n-1（8分）
（Ⅲ）dn=an•cn==（n+1）2n-2，
所以数列{dn}的前n项和Tn=2•2-1+3•2+…+n•2n-3+（n+1）•2n-2…①．
2Tn=2•2+3•21+…+n•2n-2+（n+1）•2n-1…②．
①-②得-Tn=1+2+22+…+2n-2-（n+1）•2n-1=1+-（n+1）•2n-1=-n•2n-1，
解得Tn=n•2n-1（12分）