Question

椭圆的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求证：b=c；
（2）设点p（0，-1）在线段AB的垂直平分线上，求椭圆C的方程．

Answer

（1）根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，可得2|AB|=|AF2|+|BF2|，利用椭圆定义可得|AB|=．设l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a2+b2）y2-2b2cy-b4=0（*），利用韦达定理可得，从而可证b=c． 
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化为3y2-2by-b2=0，根据|PA|=|PB|知PM为AB的中垂线，可得kPM=-1，从而可求b=3，进而可求椭圆C的方程．
（1）证明：由题设，∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列
∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，
由椭圆定义|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，，
所以，|AB|=．（3分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（-c，0），l：x=y-c，
代入椭圆C的方程，整理得（a2+b2）y2-2b2cy-b4=0，（*）（2分）
∴，
∴|AB|2=+=2=2[]
===
于是有，（4分）
化简，得a=，故b=c． （1分）
（2）【解析】
由（1）有b=c，方程（*）可化为3y2-2by-b2=0    （1分）
设AB中点为M（x，y），则，
又M∈l，于是． （2分）
由|PA|=|PB|知PM为AB的中垂线，∴kPM=-1，
由P（0，-1），得，解得b=3，
∴a2=b2+c2=18，（2分）
故椭圆C的方程为．（1分）