Question

已知函数，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若对于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{b_n}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①b_n＜b_n+1，n∈N^*；②当a为{b_n}中的任意一项时，{a_n}中必有某一项的值为1．

Answer

（1）由an+1=an，我们不难根据a1=a，an+1=f（an），得到一个关于a的方程，解方程可得a的值．
（2）由an+1＞an，我们不难根据a1=a，an+1=f（an），得到一个关于a的不等式，解不等式可得a的值，再代入已知条件进行验证，可得结果．
（3）我们可以根据已知条件中数列的形式，构造出满足条件的无穷数列，然后再结合数列的通项公式进行证明．
【解析】
（1）由题意得an+1=an=a，∴，得a=2或a=3，符合题意
（2）设an+1＞an，即，解得an＜0或2＜an＜3
∴要使a2＞a1成立，则a1＜0或2＜a1＜3
①当a1＜0时，
，
而，
即a3＜a2，不满足题意．
②当2＜a1＜3时，
，
an∈（2，3），
此时，，
∴an+1＞an，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）构造数列{bn}：，
下面证明满足要求．
此时，不妨设a取bn，
那么，

由，
可得
因为，
所以bn＜bn+1
又bn＜2≠5，所以数列{bn}是无穷数列，
因此构造的数列{bn}符合题意．