Question

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E．若，∠APB=30°，则AE=    ．

Answer

连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．
【解析】
连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，
∵PA为圆O的切线，
∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，
∴OA=PAtan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，
根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2-2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，
∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP=2，
∴AM=AP=，
故三角形AOD的面积S=OD•AM=，则S=AD•OF=OF=，
∴OF=，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：AF==，
则AE=2AF=．
故答案为：