Question

已知二次函数f（x）=ax²+x+1．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有两个实数根x₁，x₂．①求（1+x₁）（1+x₂）的值；②如果，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=ax2+x+1在[1，2]上是增函数，知a≠0，当a＞0时，1≥；当a＜0时，-2．由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）①由f（x）=ax2+x+1）=0有两个实数根x1，x2．知x1+x2=-，x1•x2=，由此能求出（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1•x2的值．
②由f（x）=ax2+x+1）=0有两个实数根x1，x2．知x1+x2=-，x1•x2=，设=m∈[，10]，则有x1=m•x2，故，=，由此能求出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax2+x+1在[1，2]上是增函数，
∴a≠0，
当a＞0时，1≥，解得a＞0；
当a＜0时，-2，解得a≥，
综上所述，a的取值范围是：{a|a，且a≠0}．
（Ⅱ）①∵f（x）=ax2+x+1）=0有两个实数根x1，x2．
∴x1+x2=-，x1•x2=，
∴（1+x1）（1+x2）
=1+x1+x2+x1•x2
=1+（-）+
=1．
②f（x）=ax2+x+1）=0有两个实数根x1，x2．
∴x1+x2=-，x1•x2=，
设=m∈[，10]，则有x1=m•x2，
∴，∴==，
∵m∈，
∴≤=≤，
故a的取值范围是[，]．