Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是    ．

Answer

由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）-logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为
函数f（x）的与函数y=-logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
【解析】
∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=3，则有 loga4＜3，且loga8＞3，解得：＜a＜2，
故答案为 （，2）．