Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导函数，由f′（x）＞0，可得函数f（x）的单调增区间；由f′（x）＜0，可得函数的单调减区间，从而可求函数的极值；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，分类讨论①2-lnx＞0时，恒成立；②2-lnx＜0时，恒成立，研究右边函数的最值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0，利用函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为，结合函数的定义域[1，e]进行分类讨论，从而可得结论．
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得
由f′（x）＞0，可得；由f′（x）＜0，可得
∴函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为
当时，函数取得极大值为；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，则
①2-lnx＞0时，恒成立
令，
∴
当lnx＜1时，g′（x）＜0，当1＜lnx＜2时，g′（x）＞0，
∴lnx=1时，即x=e时，函数取得最小值为
∴
②2-lnx＜0时，恒成立
令，
∴
当2-lnx＜0时，g′（x）＞0，
∴函数在（e2，+∞）上单调增，函数无最大值，故此时不恒成立；
∴实数a的取值范围是；
（Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0
由（Ⅰ）知函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为
若，即，则函数f（x）在[1，e]上最小值为=0，
∴a=e，不满足题意
若，即a＞1，则函数f（x）在[1，e]上最小值为f（1）=1，不满足题意
综上知，不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0．