Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=2，E为PC的中点，CG=CB，
（1）求证：PC⊥BC；
（2）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，可得PD⊥BC，BC⊥CD，结合线面垂直的判定定理可证BC⊥平面PCD，即可证PC⊥BC．
（2）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG，由三角形相似可得 ．
（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，（2分）
又∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，（3分）
∵PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PDC，
∴PC⊥BC．（6分）
（2）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．（8分）
证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，
∴EO∥平面PA，（10分）
又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，
∴PA∥平面MEG，（11分）
在正方形ABCD中，
∵O是AC中点，
∴△OCG≌△OAM，
∴AM=CG=，
∴所求AM的长为 ． （12分）