Question

已知椭圆＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围．
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值．

Answer

（1）根据椭圆的定义，利用椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于长轴长，就可求出a，再根据椭圆的离心率e=，就可求出c值，再结合椭圆中a，b，c的关系式求出b值，就可得到椭圆方程．
（2）设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，解得P，Q两点的横坐标之和，纵坐标之和，进而可求线段PQ的垂直平分线方程，令x=0，把m用含k的式子表示，根据k的范围求出m的范围．
（3）y轴把△PQM分成了两个三角形△PMF1和△QMF1，所以△PQM的面积就是△PMF1和△QMF1的面积之和，进而可用m表示△MPQ的面积S，再利用导数求出最大值即可．
【解析】
（1）∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为
∴2a=，∴a=
∵椭圆＞b＞0）的离心率为
∴
∴c=1
又∵a2=b2+c2，
∴b=1．
又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上
∴所求椭圆方程为…（4分）
（2）直线l的方程为y=kx+1
由可得（k2+2）x2+2kx-1=0．
该方程的判别式△=8k2+8＞0恒成立．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（5分）
∴
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为…（6分）
∴线段PQ的垂直平分线方程为）
令x=0，由题意…（7分）
又又k≠0，∴k2+2＞2，∴
∴…（8分）
（3）设椭圆上焦点为F，
∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，
∴S△MPQ=S△PMF+S△QMF=|FM||x1|+|FM||x2|=|FM|（|x1|+|x2|）
∵P，Q在y轴两侧，∴|x1|+|x2|=|x1-x2|
∴
∵
由，可得．
∴
又∵|FM|=1-m，
∴．
∴△MPQ的面积为（）．
设f（m）=m（1-m）3，则f'（m）=（1-m）2（1-4m）．
可知f（m）在区间单调递增，在区间单调递减．
∴f（m）=m（1-m）3有最大值
此时△MPQ的面积为=
∴△MPQ的面积有最大值．