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数列{an}满足:(n=1,2,3,…,). (1)求an的通项公式; (2)若...

数列{an}满足:manfen5.com 满分网(n=1,2,3,…,).
(1)求an的通项公式;
(2)若bn=-(n+1)an,试问是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有bn≤bk成立?证明你的结论.
(1)由数列{an}满足的条件,根据递推可得(n-1)a1+(n-2)a2+…+an-1=,两式相减得到Sn,从而求出an的通项公式; (2)设存在自然数k,使对n∈N,bn≤bk恒成立,根据bn+1-bn的表达式易得当n<8时,bn+1>bn,当n=8时,bn+1=bn,当n>8时,bn+1<bn故得解. 【解析】 (1)由, 得,(n-1)a1+(n-2)a2+…+an-1=两式相减, 得 ∴当n=1时,a1=S1=1 当n≥2时, 即 (2)由(1)得 设存在自然数k,使对n∈N,bn≤ck恒成立 当n=1时, 当n≥2时,, ∴当n<8时,bn+1>bn 当n=8时,bn+1=bn,当n>8时,bn+1<bn 所以存在正整数k=8或9,使对任意正整数n,均有b1<b2<…<b8=b9>b10>b11>…, 从而存在正整数k8或9,使得对于任意的正整数n都bn≤bk成立
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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