Question

已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设a=-1，，求证：当x∈（0，e]时，恒成立；
（3）是否存在负数a，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是-3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．
理科选修．

Answer

（1）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，从而可得f（-x）=-ax+ln（-x），结合f（x）为奇函数，可求f（x），x∈[-e，0）
（2）由a=-1时，可得f（x）=，g（x）=，而x∈（0，e]时，f（x）=-x+lnx
=，结合导数可得f（x）max=f（1）=-1，，结合导数可得g（x）min=g（e）=，要证明当x∈（0，e]时，恒成立，即证f（x）max即可
（3）假设存在负数a满足条件，由（1）可得，x∈（0，e]，f（x）=ax+lnx，，令f′（x）＞0可得，f′（x）＜0可得 ，要判断函数的单调区间，需要比较e与的大小，故需要讨论：①，②两种情况分别求解函数的最大值，进而可求a
【解析】
（1）当x∈[-e，0）时可得，-x∈（0，e]
∵x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx
f（-x）=-ax+ln（-x）
∵函数f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x）
-f（x）=-ax+ln（-x）
f（x）=ax-ln（-x）
f（x）=
证明：（2）a=-1时，f（x）=，g（x）=，
x∈（0，e]时，f（x）=-x+lnx
=
令f′（x）＞0可得0＜x＜1，f′（x）＜0可得1＜x≤e
函数f（x）在（0，1]单调递增，在（1，e]单调递减
f（x）max=f（1）=-1
，由x∈（0，e]可得g′（x）≤0
g（x）在（0，e]上单调递减
g（x）min=g（e）=
-1＜
即f（x）max
当x∈（0，e]时，恒成立；
【解析】
（3）假设存在负数a满足条件
由（1）可得，x∈（0，e]，f（x）=ax+lnx，
令f′（x）＞0可得，f′（x）＜0可得
①若，即，则函数在（0，-]上单调递增，在（-，e]上单调递减
=
∴
②若 即，则函数在（0，e]单调递增，则f（x）max=f（e）=ae+1=-3
∴（舍）
故