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已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,...

已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx(其中e是自然对数的底数,a∈R).
(1)求f(x)的解析式;
(2)设a=-1,manfen5.com 满分网,求证:当x∈(0,e]时,manfen5.com 满分网恒成立;
(3)是否存在负数a,使得当x∈(0,e]时,f(x)的最大值是-3?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.
理科选修.
(1)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e],从而可得f(-x)=-ax+ln(-x),结合f(x)为奇函数,可求f(x),x∈[-e,0) (2)由a=-1时,可得f(x)=,g(x)=,而x∈(0,e]时,f(x)=-x+lnx =,结合导数可得f(x)max=f(1)=-1,,结合导数可得g(x)min=g(e)=,要证明当x∈(0,e]时,恒成立,即证f(x)max即可 (3)假设存在负数a满足条件,由(1)可得,x∈(0,e],f(x)=ax+lnx,,令f′(x)>0可得,f′(x)<0可得 ,要判断函数的单调区间,需要比较e与的大小,故需要讨论:①,②两种情况分别求解函数的最大值,进而可求a 【解析】 (1)当x∈[-e,0)时可得,-x∈(0,e] ∵x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx f(-x)=-ax+ln(-x) ∵函数f(x)为奇函数可得f(-x)=-f(x) -f(x)=-ax+ln(-x) f(x)=ax-ln(-x) f(x)= 证明:(2)a=-1时,f(x)=,g(x)=, x∈(0,e]时,f(x)=-x+lnx = 令f′(x)>0可得0<x<1,f′(x)<0可得1<x≤e 函数f(x)在(0,1]单调递增,在(1,e]单调递减 f(x)max=f(1)=-1 ,由x∈(0,e]可得g′(x)≤0 g(x)在(0,e]上单调递减 g(x)min=g(e)= -1< 即f(x)max 当x∈(0,e]时,恒成立; 【解析】 (3)假设存在负数a满足条件 由(1)可得,x∈(0,e],f(x)=ax+lnx, 令f′(x)>0可得,f′(x)<0可得 ①若,即,则函数在(0,-]上单调递增,在(-,e]上单调递减 = ∴ ②若 即,则函数在(0,e]单调递增,则f(x)max=f(e)=ae+1=-3 ∴(舍) 故
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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