Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．
（I）求抛物线的方程；
（II）若斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点M在直线l的右上方，求证：△MAB的内心在直线x=3上；
（III）在（II）中，若∠AMB=60°，求△MAB的内切圆半径长．

Answer

（I）根据抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4，可得，从而可求抛物线C的方程；
（II）求出，设，与抛物线方程联立，利用韦达定理可计算：=0，从而可得∠AMB的角平分线为x=3；
（III）利用及，即可求得△MAB的内切圆半径长．
（I）【解析】
∵抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4，
∴，∴p=2．
所以抛物线C：y2=4x．（3分）
（II）证明：由（I）得，设，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去x得，所以，
又，，，，
所以=0，
因此∠AMB的角平分线为x=3，即△MAB的内心在直线x=3上．（7分）
（III）【解析】
由（II）得，直线MA，MB的倾斜角分别为60°，120°，所以．
直线，所以．．
同理，．
设△MAB的内切圆半径为r，因为，
，
所以，
所以（10分）