Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M、N分别是A₁B₁，AB的中点，给出如下三个结论：①C₁M⊥平面ABB₁A₁；②A₁B⊥AM；③平面AMC₁∥平面CNB₁；其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，知C1M⊥AA1，由B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，
知C1M⊥A1B1，故C1M⊥平面ABB1A1；由C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，知A1B⊥C1M，由AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，知A1B⊥AM；由AM∥B1N，C1M∥CN，知平面AMC1∥平面CNB1．
【解析】
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，
∴C1M⊥AA1，
∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵AA1∩A1B1=A1，
∴C1M⊥平面ABB1A1，故①正确．
∵C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，
∴A1B⊥C1M，
∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=c1，
∴A1B⊥平面AC1M，
∵AM⊂平面AC1M，
∴A1B⊥AM，即②正确；
∵由题设得到AM∥B1N，C1M∥CN，
∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．
故选D．