Question

“”是“函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上的减函数”的    条件．

Answer

由于a值不确定，此题要讨论，当a=0时，函数为一次函数，当a≠0时，函数为二次函数，此时分两种情况，当a＞0时，函数开口向上，先减后增，当a＜0时，函数开口向下，先增后减，求出函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上的减函数的充要条件再进行判断即可．
【解析】
（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=-2x+2为递减函数，
（2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，故函数对称轴，
解得0＜；
当a＜0时，函数开口向下，先增后减，函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上不可能为减函数故舍去．
故函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上的减函数的充要条件为．
由于⇒，反之不成立，
故答案是：充分不必要．