Question

已知双曲线C：的离心率为，左顶点为（-1，0）．
（1）求双曲线方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值和线段AB的长．

Answer

（1）依题意，故，所以b2=2，由此能求出双曲线方程．
（2）由，得x2-2mx-m2-2=0，故，中点在直线x-y+m=0上，所以可得中点坐标为（m，2m），由此能求出m的值和线段AB的长．．
【解析】
（1）依题意，
∴，
所以b2=2（2分）
所以双曲线方程为（4分）
（2）由，
得x2-2mx-m2-2=0，（6分）
∴，
又∵中点在直线x-y+m=0上，
所以中点坐标为（m，2m），
代入x2+y2=5得m=±1（8分）
|AB|=．（12分）