Question

某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为1200元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（1）若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只安排20名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？

Answer

（1）由题目的问题找到关键词--“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关．从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答．
（2）由于若该店只安排20名职工，利用分段函数表示出月利润，再分类类讨论：当40≤p≤58 时，当58＜p≤81 时，求得 p取多少时，S取最大值．最后设该店最早可在n年后还清债务，依题意列出关于n的不等关系即可解决问题．
【解析】
（Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则S=q（p-40）×100-1200m-13200．
又由图可知：．
所以S=，
由已知，当p=52 时，S=0，即：（-2p+140）（p-40）×100-1200m-13200=0，
解得m=25．即此时该店有25名职工．
（Ⅱ）若该店只安排20名职工，则月利润
S=，
当40≤p≤58 时，求得 p=55时，S取最大值7800元．
当58＜p≤81 时，求得 p=61时，S取最大值6900元．
综上，当p=55 时，S有最大值7800元．
设该店最早可在n年后还清债务，依题意，
有12n×7800-268000-200000≥0．
解得n≥5．
所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．