Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设P为椭圆上一个动点，则当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可根据题意得：在Rt△POF2中，∠OPF2≥30°，所以
PO≤OF2，代入数据化简，可得a2≤4c2，即≥，最后结合椭圆离心率e=∈（0，1），可得到该椭圆离心率e的取值范围．
【解析】
如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P处时，
张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：
∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，
∴△PF1F2中，∠F1PF2≥60°，可得Rt△POF2中，∠OPF2≥30°，
所以PO≤OF2，即bc，其中c=
∴a2-c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥
∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0
∴
故选C