Question

已知点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），点P在圆x²+y²=4上运动，则|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值与最小值之和为    ．

Answer

由点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），设P（a，b），则|PA|2+|PB|2+|PC|2=3a2+3b2-4b+68，由点P在圆x2+y2=4上运动，知-2≤b≤2．把a2=4-b2代入3a2+3b2-4b+68=-4b+80，由此能求出|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值之和．
【解析】
∵点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），
∴设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2
=（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b-6）2+（a-4）2+（b+2）2
=3a2+3b2-4b+68，
∵点P在圆x2+y2=4上运动，
∴a2+b2=4，
a2=4-b2≥0，
所以b2≤4，
∴-2≤b≤2．
把a2=4-b2代入3a2+3b2-4b+68
=12-3b2+3b2-4b+68
=-4b+80，
∵-2≤b≤2，
所以-8≤-4b≤8
80-8≤80-4b≤80+8，
72≤-4b+80≤88
∴最大值是88，最小值是72，
∴|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值之和88+72=160．
故答案为：160．