Question

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2（a²+b²-c²）=3ab，
（1）求cosC；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）由题意得，2（a2+b2-c2）=3ab，即（a2+b2-c2 ）=，则由余弦定理可得cosC= 的值．
（2）当c=2时，由基本不等式可得 a2+b2-4=ab≥2ab-4，ab≤8，故S△ABC=absinC=ab≤．
【解析】
（1）由题意得，2（a2+b2-c2）=3ab，∴（a2+b2-c2 ）=，则由余弦定理可知，cosC==．
（2）当c=2时，a2+b2-4=ab≥2ab-4，∴ab≤4，即ab≤8，
当且仅当a=b=2时取等号，而cosC=，∴sinC=，
从而S△ABC=absinC=ab≤，即面积得最大值为．