Question

已知椭圆的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆G上，且PF₁⊥F₁F₂，且，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△PAB的面积．

Answer

（1）由椭圆的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆G上，且PF1⊥F1F2，，知|F1F2|=4，即c=2，2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆G的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+m．由得，．设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB中点为E（x，y），则，，由此能求出△PAB的面积．
【解析】
（1）∵椭圆的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆G上，
且PF1⊥F1F2，且，
∴|F1F2|==4，∴c=2，
2a=|PF1|+|PF2|=4，∴，
又∵b2=a2-c2=4，
所以椭圆G的方程为．
（2）设直线l的方程为y=x+m．
由，得．
设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），
AB中点为E（x，y），
则，，
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率．
解得m=2．
此时方程①为．解得x1=-3，x2=0．
所以y1=-1，y2=2．所以|AB|=．
此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离，
所以△PAB的面积S=．