Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中点，AC与BD交于O点．
（1）求证：PA∥面EDB；
（2）求证：BC⊥面PCD；
（3）求PB与面PCD所成角的正切值．

Answer

（1）连接EO，根据中线性质可得OE∥PA，进而可得PA∥面EDB；
（2）先由已知得：PD⊥面ABCD推得PD⊥BC，再结合ABCD是正方形对应的BC⊥CD即可证：BC⊥面PCD；
（3）先由条件求出∠BPC就是PB与面PCD所成的角，再通过求三角形边长即可得到结论．
证明：（1）连接EO，由平行四边形ABCD知：O为AC中点
在△PAC中，∵PE=EC，AO=OC
∴OE∥PA
又OE⊂面EDB，PA⊄面EDB
∴PA∥面EDB----------------------------------（3分）
（2）由已知得：PD⊥面ABCD
∴PD⊥BC
∵ABCD是正方形
∴BC⊥CD
又PD∩CD=D
∴BC⊥面PCD------------------------------------（6分）
（3）由（2）知：PB在面PCD内的射影是PC
∴∠BPC就是PB与面PCD所成的角．------------------------------（7分）
设PD=DC=a，则PC=
∴在△PBC中，∠PCB=90°，PC=，BC=a
∴tan∠BPC=
∴PC与面PCD所成角的正切值为．------------------------------（10分）