Question

如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线交于A、B两点，Q为A、B中点，
（1）求抛物线的焦点坐标及准线l方程；  
（2）若α≠，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：|AB|=2|PF|．

Answer

（1）抛物线的方程是y2=4x，可得=1，从而得到抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），先根据抛物线的定义，推出|AB|=x1+x2+2，再由Q为A、B中点，结合中点坐标公式可得|AB|=2x+2．接下来求直线m的方程：运用点A、B的坐标代入抛物线方程，再作差，化简得到直线AB的斜率为，利用垂直直线斜率的关系，得到中垂线斜率为，所以直线m的方程为y-y=．最后根据m方程得到点P的横坐标为x+2，得到|PF|=xp-1=x+1，从而证出|AB|=2|PF|．
【解析】
（1）∵抛物线的方程是y2=4x，
∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程是x=-1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），
根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+，|BF|=x2+，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2
∵Q为A、B中点，
∴x1+x2=2x，且y1+y2=2y．因此可得|AB|=2x+2
∵A、B两点在抛物线y2=4x上，
∴y12=4x1，且y22=4x2，两式相减，再分解得：
（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），
∴直线AB的斜率为，
因此，中垂线斜率满足，所以
∴直线m的方程为
令y=0，得P点横坐标为：xp=x+2
所以|PF|=xp-1=x+2-1=x+1
∴|AB|=2（x+1）=2|PF|