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已知函数f(x)=ex-ax(a∈R). (Ⅰ) 写出函数y=f(x)的图象恒过...

已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).
(Ⅰ) 写出函数y=f(x)的图象恒过的定点坐标;
(Ⅱ)直线L为函数y=φ(x)的图象上任意一点P(x,y)处的切线(P为切点),如果函数y=φ(x)图象上所有的点(点P除外)总在直线L的同侧,则称函数y=φ(x)为“单侧函数”.
(i)当a=manfen5.com 满分网判断函数y=f(x)是否为“单侧函数”,若是,请加以证明,若不是,请说明理由.
(i i)求证:当x∈(-2,+∞)时,ex+manfen5.com 满分网x≥ln(manfen5.com 满分网x+1)+1.
(I)观察函数的表达式,可得当x=0时,f(x)=1,所以函数y=f(x)的图象恒过定点M(0,1). (II)(i)将a=代入,得f(x)=ex-x,然后利用导数求得y=f(x)图象在点P(x,y)处的切线L方程为:y=(-)x+(1-x),再构造函数F(x)=f(x)-g(x)=ex-•x+•x-,讨论F(x)的单调性得知:当x=x时,F(x)有最小值F(x)=0.因此,f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立,所以函数f(x)图象上所有的点都位于切线L的上方,由此得当a=时,函数y=f(x)是“单侧函数”. (ii)根据(i)的结论中的不等式,取x=0得不等式ex+x≥x+1对任意x∈R都成立,然后构造函数G(x)=(x+1)-[ln(x+1)+1],讨论G(x)的单调性得到当x=0时,G(x)有最小值G(0)=0,即G(x)≥0对任意x∈(-2,+∞)都成立,从而得到x+1≥ln(x+1)+1对任意x∈(-2,+∞)都成立.最后利用不等式的传递性,可得当x∈(-2,+∞)时,ex+x≥ln(x+1)+1恒成立. 【解析】 (I)∵f(x)=ex-ax, ∴当x=0时,f(x)=e-a×0=1 所以函数y=f(x)的图象恒过的定点为M(0,1). (II)(i)对函数求导数,得f'(x)=ex-a, 当a=时,f'(x)=ex-, 所以函数y=f(x)图象在点P(x,y)处的切线斜率为k=f'(x)=-, 可得切线L的方程为:y-y=(-)(x-x) ∵y=f(x)=-x, ∴函数y=f(x)图象在点P(x,y)处的切线L的方程化简, 得:y-(-x)=(-)(x-x),即y=(-)x+(1-x) 设y=g(x)=(-)x+(1-x), 再记F(x)=f(x)-g(x)=(ex-x)-[(-)x+(1-x)]=ex-•x+•x-, 对F(x)求导数,得F'(x)=ex-, 当x>x时,F'(x)>0,得函数F(x)在区间(x,+∞)为增函数; 当x<x时,F'(x)<0,得函数F(x)在区间(-∞,x)为减函数, ∴当x=x时,F(x)有最小值F(x)=0.即F(x)≥0对任意的x∈R,都有F(x)≥0, 也就是f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立. 因此,函数f(x)图象上所有的点都位于切线L的上方,由此可得当a=时,函数y=f(x)是“单侧函数”. (ii)由(i)的证明可得ex+x≥(-)x+(1-x), 取x=0,得不等式ex+x≥x+1对任意x∈R都成立…①, 接下来证明x+1≥ln(x+1)+1在区间(-2,+∞)上恒成立: 记函数G(x)=(x+1)-[ln(x+1)+1]=x-ln(x+1), 对G(x)求导数,得G'(x)=-= ∴当x>0时,G'(x)>0,得函数G(x)在区间(0,+∞)为增函数; 当-2<x<0时,F'(x)<0,得函数F(x)在区间(-2,0)为减函数, 可得当x=0时,G(x)有最小值G(0)=0,即G(x)≥0对任意的x∈(-2,+∞)都成立. 所以不等式x+1≥ln(x+1)+1在区间(-2,+∞)上恒成立…②, 对照①②可得ex+x≥x+1≥ln(x+1)+1在区间(-2,+∞)上恒成立, 即当x∈(-2,+∞)时),ex+x≥ln(x+1)+1恒成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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