Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 写出函数y=f（x）的图象恒过的定点坐标；
（Ⅱ）直线L为函数y=φ（x）的图象上任意一点P（x，y）处的切线（P为切点），如果函数y=φ（x）图象上所有的点（点P除外）总在直线L的同侧，则称函数y=φ（x）为“单侧函数”．
（i）当a=判断函数y=f（x）是否为“单侧函数”，若是，请加以证明，若不是，请说明理由．
（i i）求证：当x∈（-2，+∞）时，e^x+x≥ln（x+1）+1．

Answer

（I）观察函数的表达式，可得当x=0时，f（x）=1，所以函数y=f（x）的图象恒过定点M（0，1）．
（II）（i）将a=代入，得f（x）=ex-x，然后利用导数求得y=f（x）图象在点P（x，y）处的切线L方程为：y=（-）x+（1-x），再构造函数F（x）=f（x）-g（x）=ex-•x+•x-，讨论F（x）的单调性得知：当x=x时，F（x）有最小值F（x）=0．因此，f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，所以函数f（x）图象上所有的点都位于切线L的上方，由此得当a=时，函数y=f（x）是“单侧函数”．
（ii）根据（i）的结论中的不等式，取x=0得不等式ex+x≥x+1对任意x∈R都成立，然后构造函数G（x）=（x+1）-[ln（x+1）+1]，讨论G（x）的单调性得到当x=0时，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0对任意x∈（-2，+∞）都成立，从而得到x+1≥ln（x+1）+1对任意x∈（-2，+∞）都成立．最后利用不等式的传递性，可得当x∈（-2，+∞）时，ex+x≥ln（x+1）+1恒成立．
【解析】
（I）∵f（x）=ex-ax，
∴当x=0时，f（x）=e-a×0=1
所以函数y=f（x）的图象恒过的定点为M（0，1）．
（II）（i）对函数求导数，得f'（x）=ex-a，
当a=时，f'（x）=ex-，
所以函数y=f（x）图象在点P（x，y）处的切线斜率为k=f'（x）=-，
可得切线L的方程为：y-y=（-）（x-x）
∵y=f（x）=-x，
∴函数y=f（x）图象在点P（x，y）处的切线L的方程化简，
得：y-（-x）=（-）（x-x），即y=（-）x+（1-x）
设y=g（x）=（-）x+（1-x），
再记F（x）=f（x）-g（x）=（ex-x）-[（-）x+（1-x）]=ex-•x+•x-，
对F（x）求导数，得F'（x）=ex-，
当x＞x时，F'（x）＞0，得函数F（x）在区间（x，+∞）为增函数；
当x＜x时，F'（x）＜0，得函数F（x）在区间（-∞，x）为减函数，
∴当x=x时，F（x）有最小值F（x）=0．即F（x）≥0对任意的x∈R，都有F（x）≥0，
也就是f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立．
因此，函数f（x）图象上所有的点都位于切线L的上方，由此可得当a=时，函数y=f（x）是“单侧函数”．
（ii）由（i）的证明可得ex+x≥（-）x+（1-x），
取x=0，得不等式ex+x≥x+1对任意x∈R都成立…①，
接下来证明x+1≥ln（x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立：
记函数G（x）=（x+1）-[ln（x+1）+1]=x-ln（x+1），
对G（x）求导数，得G'（x）=-=
∴当x＞0时，G'（x）＞0，得函数G（x）在区间（0，+∞）为增函数；
当-2＜x＜0时，F'（x）＜0，得函数F（x）在区间（-2，0）为减函数，
可得当x=0时，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0对任意的x∈（-2，+∞）都成立．
所以不等式x+1≥ln（x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立…②，
对照①②可得ex+x≥x+1≥ln（x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立，
即当x∈（-2，+∞）时），ex+x≥ln（x+1）+1恒成立．