Question

函数f（x）=x²-bx+c满足f（0）=3，且它的对称轴为x=1．
求：（1）函数f（x）的解析式；
（2）f（x）的单调区间；
（3）f（x）的最值．

Answer

（1）由f（0）=3，且它的对称轴为x=1，代入可求c，b，进而可求函数的解析式
（2）对函数进行配方可得，f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，根据二次函数的性质可求单调区间
（3）由二次函数的性质可知，f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2，可求最小值
【解析】
（1）∵f（x）=x2-bx+c满足f（0）=3，且它的对称轴为x=1
∴c=3，b=2
∴f（x）=x2-2x+3
（2）∵f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2
根据二次函数的性质可得，单调减区间是（-∞，1]，单调减区间是[1，+∞）
（3）∵f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2
∴函数的最小值为2．