Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面ACE；
（2）求证：AC⊥平面B₁BDD₁．

Answer

（1）设AC∩BD=O，连接OE，证明OE∥BD1．通过直线与平面平行的判定定理证明BD1∥平面ACE．
（2）证明 AC⊥BD．AC⊥D1D，然后证明AC⊥平面B1BDD1
证明：（1）设AC∩BD=O，连接OE，
因为E是DD1的中点，O是BD的中点，
所以OE∥BD1．
又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，
所以BD1∥平面ACE．
（2）因为 ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，
所以底面ABCD是正方形，所以  AC⊥BD．
又因为D1D⊥平面ABCD，所以  AC⊥D1D，D1D∩BD=D．
所以AC⊥平面B1BDD1