Question

如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，．

（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱锥D-ABC的体积．

Answer

（1）利用菱形ABCD的特点，证明OMAB，然后利用直线与平面平行的判定定理证明OM∥平面ABD；
（2）先证明OD⊥OM．OD⊥AC．OM∩AC=O，证明OD⊥平面ABC，然后证明平面ABC⊥平面MDO．
（3）判断OD为三棱锥D-ABC的高，求出S△ABC，然后求解三棱锥的体积．
【解析】
（1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点，又M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OMAB，
因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以OM∥平面ABD；
（2）证明：由题意，OM=OD=3，
因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．
又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．
因为OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，
因为OD⊂平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO．
（3）【解析】
由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=3为三棱锥D-ABC的高，
因为菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，
所以S△ABC==9，
所以所求三棱锥的体积为V，V==9．
即三棱锥D-ABC的体积9．