Question

如图，椭圆的方程为，其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P₁，P₂，P₃，P₄，P₅五个点，且|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过F点（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围．

Answer

（1）由题意，知P1与P5，P2与P3分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为F1，从而|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，|P2F|+|P3F|=2a，|P3F|=a，利用|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=5，即可求得椭圆的方程；
（2）设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程，利用韦达定理，确定AB的中点的坐标，求出线段AB的垂直平分线方程，表示出m，即可确定m的取值范围．
【解析】
（1）由题意，知P1与P5，P2与P3分别关于y轴对称
设椭圆的左焦点为F1，则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，同时|P2F|+|P3F|=2a而|P3F|=a
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=5
∴a=
∴椭圆的方程为；
（2）由题意，F（1，0），设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程
消元整理，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为（x，y），
则
∴线段AB的垂直平分线方程为y-y=-（x-x）
令y=0，得m=x+ky===
由于，∴
∴0＜m＜．