Question

函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，）的最大值为3，它的图象相邻的两个对称轴之间的距离为2，图象在y轴交点的坐标为（0，2），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列a_n=f（n）（n∈N^*），S_n是它的前n项和，求S₁₀₀．

Answer

（1）先将原函数用降幂公式转化为一个角的一个三角函数的形式，由相邻两对称轴间的距离为2可知周期求得ω，由最大值为3，求得A，又由图象经过点（0，2），求得φ，进而得f（x）解析式．
（2）求出数列的前几项，判断数列是周期数列，求出一个周期的和．然后求解S100．
【解析】
（1）将原函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1转化为：f（x）=cos（2ωx+2φ）++1
相邻两对称轴间的距离为2可知函数的周期为：4，则2ω==，ω=
由最大值为3，可知A=2
又∵图象经过点（0，2），
∴cos2φ=0
∴2φ=kπ+，，φ=，
∴f（x）=cos（x+）+2=-sin+2．
（2）∵f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=2，f（5）=1…所以数列{an}是周期数列，T=4，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=8，
S100=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=8×25=200．