Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D是AA₁的中点，E是B₁C的中点，
（1）证明：DE∥平面ABC
（2）求二面角C-B₁D-B的余弦值．

Answer

（1）取G为BC的中点，由E是B1C的中点，知EG∥BB1，且EG=BB1，又AD∥BB1，且AD=BB1，故EG∥AD，EG=AD，所以四边形ADEG为平行四边形从而有DE∥AG，从而有DE∥平面ABC．
（2）由直三棱柱的结构特征，得到B1B⊥BC，再由AB⊥BC，得到BC⊥平面ABB1D．从而有BD⊥B1D，所以BD是CD在平面ABB1D内的射影，∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角．由向量法能求出二面角C-B1D-B的余弦值．
（1）证明：如图，E是B1C的中点，取为BC的中点G，连接EG，AG，ED，
在△BCB1中，∵BG=GC，B1E=EC，∴EG∥BB1，且EG=BB1，
又AD∥BB1，且AD=BB1，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形，∴DE∥AG，
又AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）【解析】
如图，以B为原点，BC、BA、BB1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），
B1（0，0，2），C1（1，0，2），A1（0，1，2），D（0，1，1），
∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴B1B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1D．
如图，连接BD，
在△BB1D中，∵BD=B1D=2，BB1=2，
∴BD2+B1D2=BB12，即BD⊥B1D，
∵BD是CD在平面ABB1D内的射影，
∴CD⊥B1D，∴∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角．
∵DC=（1，-1，-1），DB=（0，-1，-1），
∴cos∠CDB===，
∴二面角C-B1D-B的余弦值为．