Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，若（n∈N^*）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．
（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{b_n}是否为“和等比数列”；
（2）若数列{c_n}是首项为c₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{c_n}是“和等比数列”，试探究d与c₁之间的等量关系．

Answer

（1）根据数列是首项为2，公比为4的等比数列，根据等比数列的通项公式求得bn，数列{bn}的前n项和为Tn，根据等比数列的求和公式求得Tn和T2n，进而可求得，判断出数列{bn}为“和等比数列”；
（2）设数列{cn}的前n项和为Rn，且，根据等差数列的求和公式求得Rn和R2n，代入中，求得d=2c1．
【解析】
（1）因为数列是首项为2，
公比为4的等比数列，
所以，
因此bn=2n-1．
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则Tn=n2，T2n=4n2，所以，
因此数列{bn}为“和等比数列”；

（2）设数列{cn}的前n项和为Rn，且，
因为数列{cn}是等差数列，
所以，，
所以对于n∈N*都成立，
化简得，（k-4）dn+（k-2）（2c1-d）=0，
则，因为d≠0，所以k=4，d=2c1，
因此d与c1之间的等量关系为d=2c1．