Question

已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=-（x-1）²+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

Answer

令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．
【解析】
令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；
当x≥0时，f（x）=-（x-1）2+1=，解得x1=1+，x2=1-；
∵f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=-1-，x4=-1+；
综上所述，f（a）=1+，1-，-1-，-1+；
当a≥0时，
f（a）=-（a-1）2+1=1+，方程无解；
f（a）=-（a-1）2+1=1-，方程有2解；
f（a）=-（a-1）2+1=-1-，方程有1解；
f（a）=-（a-1）2+1=-1+，方程有1解；
故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，
综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，
故选D．