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已知椭圆的离心率为,且短轴长为2. (I)求椭圆方程; (II)过点(m,0)作...

已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,且短轴长为2.
(I)求椭圆方程;
(II)过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线交椭圆于A、B两点,试将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
(I)椭圆的离心率为,且短轴长为2,确定几何量,从而可求椭圆方程; (II)分m=1,m=-1及m≠±1,分别求出|AB|的长度,利用直线方程与椭圆方程进行联立,利用根与系数的关系得到k与m之间关系等式,利用弦长公式求得弦长,再利用基本不等式,即可求得结论. 【解析】 (I)∵椭圆的离心率为,且短轴长为2 ∴ ∵a2=b2+c2 ∴a2=4 ∴椭圆方程为 (II)由题意知:|m|≥1, 当m=1时,切线l的方程为x=1,点A(1,)  点B(1,-) 此时|AB|=; 当m=-1时,同理可得|AB|=; 当m≠±1时,设切线l的方程为:y=k(x-m),由可得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=, ∵l与圆x2+y2=1相切 ∴圆心到直线l的距离等于圆的半径,即=1 ∴m=, 所以|AB|= == 由于当m=±1时,|AB|=, 当m≠±1时,|AB|=,此时m∈(-∞,-1)∪(1,+∞) 又|AB|=≤2,(当且仅当m=±时,|AB|=2), 所以,|AB|的最大值为2. 故|AB|的最大值为2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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