Question

设数列．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{S_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a2，a3，a4；
（2）利用（1）猜想数列{Sn}的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可，
【解析】
（1）当n=1时，S1=a1=，
当n=2时，S1S2-2S2+1=0，即a1（a1+a2）-（a1+a2）+1=0，解得a2=．
当n=3时，S3S2-2S3+1=0，即（a1+a2+a3）（a1+a2）-（a1+a2+a1）+1=0，解得a3=．
同理a4=．
（2）由（1）可得，，，，
猜想，n=1，2，3，…
下面用数学归纳法证明
①n=1时，已经成立；
②假设n=k时结论成立即，
当n=k+1时，SkSk+1-2Sk+1+1=0，得=．所以n=k+1时结论成立．
综上由①②可知，猜想，n=1，2，3，…成立．