Question

设函数，已知它们在x=1处的切线互相平行．
（1）求b的值；
（2）当x＞0时，求证：x²-2lnx≥1；
（3）若函数，且方程F（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据导数的几何意义可得f′（1）=g′（1）即可求出b的值．
（2）由（1）可得g′（x）=从而可得出x∈（0，1）时g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时g′（x）＞0所以g（x）≥g（1）再整理即可．
（3）利用导数判断函数F（x）的单调性和极值然后作出函数F（x）的简图然后根据函数y=a2与函数F（x）的图象有两个交点即可求出a的范围．
【解析】
（1）f′（x）=a（x2-1），g′（x）=2bx-
∵它们在x=1处的切线互相平行
∴f′（1）=g′（1）
∴2b-1=0
∴b=
（2）由（1）可得：g′（x）=
当x∈（0，1）时g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0
则：
∴g（x）=≥
∴x2-2lnx≥1
（3）当x＞0时，F（x）=）=，由（2）得：
当x=1时F极小值（x）=F（1）=
当x≤0时F（x）=则F′（x）=a（x-1）（x+1）
∴当x∈（-∞，-1）时F′（x）＞0，当x∈（-1，0）时F′（x）＜0
故当x=-1时F极大值（x）=F（-1）=
又方程F（x）=a2有且仅有四个解
则：＜a2＜
又a＞0
∴a∈（