Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值．

Answer

解法一：（1）由题意可证明AD⊥面PAB，E、F分别是线段PA、PD的中点，EF∥AD，从而得证；
（2）取BC的中点M，取DC的中点G，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．
分别求得EM、EG、MG的长度，再利用余弦定理即可求得异面直线EG与BD所成的角的余弦值．
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）．
求得=（0，1，0），=（0，0，2），=（2，0，0），
利用•=0，•=0，可证得EF⊥AP，EF⊥AB，从而可证平面EFG⊥平面PAB．
（2）求得，利用向量的夹角公式可求得异面直线EG与BD所成的角的余弦值为．
解法一：（1）证明：∵ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA，又AB∩PA=A，（2分）
∴AD⊥面PAB．
∵E、F分别是线段PA、PD的中点，
∴EF∥AD，
∴EF⊥面PAB．（6分）
（2）【解析】
取BC的中点M，取DC的中点G，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，（8分）
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．（10分）
在Rt△MAE中，，同理，
又，
∴在△MGE中，…
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为．（14分）
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）．
（1）证明：∵=（0，1，0），=（0，0，2），=（2，0，0），
∴•=0×0+1×0+0×2=0，•=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB．
又∵AP、AB⊂面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB．又EF⊂面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAB．
（2）【解析】
∵，
∴，
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为．