Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．
（I）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（II）若四边形BCC₁B₁是矩形，且CD⊥DA₁，求证：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．

Answer

（I）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，先利用中位线定理证明DO∥BC1，再利用线面平行的判定定理证明结论即可；
（II）要证明三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，只需证明侧棱垂直于底面即可，先利用线面垂直的判定定理证明CD⊥平面ABB1A1，从而BB1⊥CD，再利用同样的定理证明BB1⊥平面ABC即可
【解析】
（Ⅰ）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC1
∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）∵等边△ABC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
∵CD⊥DA1，DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1
∵BB1⊂平面ABB1A1
∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1
∴BB1⊥BC
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱．