Question

如图，正方形ABCD内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．
（I）若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2．
①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
②求椭圆的标准方程．
（II）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e²-k是定值．

Answer

（Ⅰ）①确定，可证AM⊥AE，即可证明直线AM与△ABE的外接圆相切；
②将A（2，2），M（4，1）代入椭圆方程，即可求得椭圆标准方程；
（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，将A（s，s），M（s+2t，t），代入椭圆方程，从而可求，再求出，即可证得结论．
（Ⅰ）证明：①依题意：A（2，2），M（4，1），E（0，-2）
∴，
∴
∴AM⊥AE（3分）
∵AE为Rt△ABE外接圆直径，
∴直线AM与△ABE的外接圆相切；（5分）
②【解析】
由A（2，2），M（4，1）在椭圆上，可得，解得
∴椭圆标准方程为．（10分）
（Ⅱ）证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A（s，s），M（s+2t，t），
代入椭圆方程得，∴
∴ （14分）
∵，
∴2e2-k=2为定值． （15分）