Question

已知函数f（x）=xlnx．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（III）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．

Answer

（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1，知f′（x）＜0得lnx＜-1，由此能求出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由f（x）≥-x2+ax-6，得，设，则，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）设切点T（x，y）则kAT=f′（x），故，由此能求出切线方程．
【解析】
（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1
∴f′（x）＜0得lnx＜-1 （2分）
∴
∴函数f（x）的单调递减区间是； （4分）
（Ⅱ）∵f（x）≥-x2+ax-6即
设，
则 （7分）
当x∈（0，2）时g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴实数a的取值范围是（-∞，5+ln2]； （10分）
（Ⅲ）设切点T（x，y）则kAT=f′（x），
∴即e2x+lnx+1=0
设h（x）=e2x+lnx+1，当x＞0时h′（x）＞0，
∴h（x）是单调递增函数 （13分）
∴h（x）=0最多只有一个根，
又，
∴
由f'（x）=-1得切线方程是． （16分）