Question

设数列{b_n}满足．
（I）若b₃=3，求b₁的值；
（II）求证数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列；
（III）设数列{T_n}满足：，且，若存在实数p，q，对任意n∈N^*都有p≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜q成立，试求q-p的最小值．

Answer

（Ⅰ）由bn+2=-bn+1-bn，知b3=-b2-b1=-3b1=3，由此能求出b1．
（Ⅱ）由bn+2=-bn+1-bn，知bn+3=-bn+2-bn+1，故bn+3=bn，由此能证明数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列．
（Ⅲ）由Tn+1=Tn•bn+1=Tn-1bnbn+1=Tn-2bn-1bnbn+1=…=b1b2b3…bn+1，知：当n≥2时Tn=b1b2b3…bn（*），当n=1时T1=b1适合（*）式．故Tn=b1b2b3…bn（n∈N*）． 由，b2=2b1=-1，，bn+3=bn入手，能够求出求q-p的最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵bn+2=-bn+1-bn，
∴b3=-b2-b1=-3b1=3，
∴b1=-1．（3分）
（Ⅱ）∵bn+2=-bn+1-bn①
∴bn+3=-bn+2-bn+1②，
②-①得bn+3=bn （5分）
∴（bn+1bn+2bn+3+n+1）-（bnbn+1bn+2+n）=bn+1bn+2（bn+3-bn）+1=1为常数
∴数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列． （7分）
（Ⅲ）∵Tn+1=Tn•bn+1=Tn-1bnbn+1=Tn-2bn-1bnbn+1=…=b1b2b3…bn+1
当n≥2时Tn=b1b2b3…bn（*），当n=1时T1=b1适合（*）式
∴Tn=b1b2b3…bn（n∈N*）． （9分）
∵，b2=2b1=-1，，bn+3=bn，
∴，，
，，
，，
…T3n+1+T3n+2+T3n+3=T3n-2b3n-1b3nb3n+1+T3n-1b3nb3n+1b3n+2+T3nb3n+1b3n+2b3n+3
=T3n-2b1b2b3+T3n-1b1b2b3+T3nb1b2b3=，
∴数列是等比数列
首项且公比 （11分）
记Sn=T1+T2+T3+…+Tn
①当n=3k（k∈N*）时，Sn=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）…+（T3k-2+T3k-1+T3k）==
∴； （13分）
②当n=3k-1（k∈N*）时Sn=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）…+（T3k-2+T3k-1+T3k）-T3k
=-=
∴0≤Sn＜3； （14分）
③当n=3k-2（k∈N*）时Sn=（T1+T2+T3）+（T4+T5+T6）…+（T3k-2+T3k-1+T3k）-T3k-1-T3k
=--=--=
∴ （15分）
综上得则且q≥3，
∴q-p的最小值为． （16分）