Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-2n，数列{b_n}的前n项和T_n=3-b_n．
①求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和R_n的表达式．

Answer

①利用an=Sn-Sn-1（n≥2），a1=S1可求出数列{an}的通项公式，利用bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn，可得{bn}是公比为的等比数列，从而求出数列{bn}的通项公式；
②根据数列{cn}的通项特征可知利用错位相消法进行求和即可．
【解析】
①由题意得an=Sn-Sn-1=4n-4（n≥2）
而n=1时a1=S1=0也符合上式
∴an=4n-4（n∈N+）
又∵bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn，
∴=
∴{bn}是公比为的等比数列，
而b1=T1=3-b1，
∴b1=，
∴bn=
=3•（n∈N+）．
②Cn=an•bn=（4n-4）××3
=（n-1），
∴Rn=C1+C2+C3+…+Cn
=+2•+3•+…+（n-1）•
∴Rn=+2•+…+（n-2）+（n-1）
∴Rn=++…+-（n-1）•，
∴Rn=1-（n+1）．