Question

三个城市分别位于A，B，C三点处（如图），且km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的总长度为ykm．
（Ⅰ）设OA=x（km），或OB=x（km），或点O到BC的距离为x（km），或∠CBO=x（rad）．请你选择用其中的某个x，将y表示为x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短．

Answer

（Ⅰ）设OB=x（km），在Rt△ODB中，可求得OD=，从而可得y是x的函数表达式；若设OA=x（km），可求得y=x+（0≤x≤20）；若设∠CBO=x（rad），可求得y=20+（0≤x≤）；
（Ⅱ）由y=2x+20-（20≤x≤20），可求得y′=2-，利用导数法求得在[20，20]上的极小值即可．
【解析】
（Ⅰ）设OB=x（km），延长AO交于BC于点D．
∵BD=DC=BC=20，OB=OC，
∴OA=AD-0D=-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-，
又20≤x≤20，
∴y=2x+20-（20≤x≤20）…（6分）
（若设OA=x（km），则y=x+2（0≤x≤20）；
若设∠CBO=x（rad），
则y=20-20tanx+2×=20+（0≤x≤）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系y=2x+20-（20≤x≤20），来确定符合要求的货运中转站的位置．
∵y=2x+20-（20≤x≤20），
∴y′=2-，令y'=0得x=，或x=-（舍去）．
当时，y'＜0；当时，y'＞0，
∴函数y在时，取得极小值，这个极小值就是函数y在上的最小值．…（11分）
因此，当货运中转站建在三角形区内且到B、C两点的距离均为km时，修建的道路的总长度最短．…（13分）