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已知函数f(x)=+x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠1 (Ⅰ)讨...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网+x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠1
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设函数g(x)=manfen5.com 满分网 (e是自然对数的底数),是否存在a,使g(x)在[a,-a]上是减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)先求出函数的定义域,然后求出f′(x)=0得到函数的稳定点,讨论a的大小得到导函数的大小即可得到函数的单调区间; (2)存在a,令h(x))=(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)ex(x∈R),求出导函数,然后再令m(x)=-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2(x∈R),讨论g(x)在[a,-a]上为减函数,当且仅当f(x)在[1,-a]上为减函数,h(x)在[a,1]上为减函数,且h(1)≥e•f(1)得到三个关于a范围的式子,求出解集即可得到a的范围. 【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=-+1+=, ①若-1<a<0,则当0<x<-a时,f′(x)>0;当-a<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.故f(x)分别在(0,-a),(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减. ②若a<-1,仿①可得f(x)分别在(0,1),(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减; (2)存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数.事实上,设h(x)=(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)ex(x∈R),则h′(x)=[-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2]ex 再设m(x)=-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2(x∈R), 则g(x)在[a,-a]上单调递减时,h(x)必在[a,0]上单调递减所以h′(a)≤0,由于ex>0, 因此g(x)在[a,-a]上为减函数,当且仅当f(x)在[1,-a]上为减函数,h(x)在[a,1]上为减函数,且h(1)≥e•f(1).由(1)知,当a≤-2①时,f(x)在[1,-a]上为减函数.又h(1)≥e•f(1)⇔4a2+13a+3≤0⇔-3≤a≤-② 不难知道,∀x∈[a,1],h′(x)≤0⇔∀x∈[a,1],m(x)≤0,因m′(x)=-6x2+6(a-2)x+12a=-6(x+2)(x-a),令m′(x)=0,则x=a,或x=-2.而a≤-2,于是 (p)当a<-2时,若a<x<-2,则m′(x)>0;若-2<x<1,则m′(x)<0.因而m(x)在(a,-2)上单调递增,在 (-2,1)上单调递减. (q)当a=-2时,m′(x)≤0,m(x)在(-2,1)上单调递减. 综合(p)(q)知,当a≤-2时,m(x)在[a,1]上的最大值为m(-2)=-4a2-12a-8.所以∀x∈[a,1],m(x)≤0 ⇔m(-2)≤0⇔-4a2-12a-8≤0⇔a≤-2③, 又对x∈[a,1],m(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得,亦即h′(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得.因此,当a≤-2时,h(x)在[a,1]上为减函数. 从而有①,②,③知,-3≤a≤-2 综上所述,存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数,且a的取值范围为[-3,-2].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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