Question

已知点P是抛物线y²=-8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d₁，到直线x+y-10=0的距离是d₂，则d_l+d₂的最小值是（ ）
A．
B．2
C．6
D．3

Answer

根据抛物线的方程，得到焦点为F（-2，0），准线方程是x=2．然后作PQ与垂直准线，交于点Q，过作PM与直线x+y-10=0垂直，交于点M，可得PQ=d1，PM=d2．连接PF，根据抛物线的定义可得d1+d2=PF+PM，因此当P、F、M三点共线且与直线x+y-10=0垂直时，dl+d2最小，最后用点到直线的距离公式，可求出这个最小值．
【解析】
∵抛物线方程是y2=-8x，
∴抛物线的焦点为F（-2，0），准线方程是x=2
P是抛物线y2=-8x上一点，过P点作PQ与准线垂直，垂足为Q，
再过P作PM与直线x+y-10=0垂直，垂足为M
则PQ=d1，PM=d2
连接PF，根据抛物线的定义可得PF=PQ=d1，所以d1+d2=PF+PM，
可得当P、F、M三点共线且与直线x+y-10=0垂直时，dl+d2最小．（即图中的F、P、M位置）
∴dl+d2的最小值是焦点F到直线x+y-10=0的距离，
即（dl+d2）min==
故选C