Question

如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x²+y²-2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x-my-1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积为时，求直线l的方程．

Answer

（I）设椭圆方程为，圆F的标准方程为（x-1）2+y2=1，圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），由题意a=2，半焦距c=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3m2+4）y2+6my-9=0，所以|y1-y2|=，故S△AOB=•|OF|•|y1-y2|=，由△AOB面积为能求出直线l的方程．
【解析】
（I）设椭圆方程为，
圆F的标准方程为（x-1）2+y2=1，
圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
由题意a=2，半焦距c=1，
∴b2=a2-c2=4-1=3，
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（3m2+4）y2+6my-9=0，
∴，，
∴|y1-y2|=
=，
S△AOB=•|OF|•|y1-y2|=，
∵△AOB面积为，∴=，
∴，
整理，得27m4-28m2-52=0，
△=282+4×27×52=42×400，
∴，
∴m2=2，或（舍），∴，
∴直线l的方程为．